私人和银行对同一债务人提起诉讼，债务人应该

债务人应按规定顺序偿还。依据《相关法律法规》，优先债权优先偿还，其次为普通债权，最后为交付遗赠。不按规定处理可能导致清偿纠纷及法律责任。
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处理偿还顺序的常见方式为按法律规定清偿。债务人需先确认债权类型，再依据优先债权、普通债权、交付遗赠的顺序选择偿还方式，确保合规处理。
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按顺序偿还。具体操作：1.确认各债权性质，区分优先、普通及遗赠；2.按顺序与债权人协商偿还方案；3.优先偿还优先债权，如银行贷款等；4.偿还普通债权，如个人借款；5.最后处理交付遗赠。确保每一步都合法合规。